ZeroOne

위상정렬이란, 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다.

키 포인트는 '진입차수(indegree)'이다.

1) 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

2) 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

   2-1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.

   2-2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

위상정렬의 시간복잡도는 O(V+E)이다.

차례대로 모든 노드를 확인하면서 해당노드에서 출발하는 간선을 제거한다.

즉, 노드와 간선을 전부 한번씩 탐색한다고 생각하면 된다.

큐에 I/O하는 시간은 V와 같으므로 무시한다.

주의사항은 다음과 같다.

1. 위상정렬 도중, 사이클이 발생할 수도 있다.

2. 위상정렬로 나열한 경우의 수가 2가지 이상일 수 있다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

// 노드의 개수(v)와 간선의 개수(e)
// 노드의 개수는 최대 100000개 라고 가정
int v, e;
// 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
int indegree[100001];
// 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기위한 인접 리스트 초기화
vector<int> graph[100001];

// 위상 정렬 함수
void topologySort() {
    vector<int> result; // 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    queue<int> q; // 진입차수 0인 노드를 넣을 큐


    // 처음 시작할 때는 진입차수 0인 노드를 큐에 삽입
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        if (indegree[i] == 0) {
            q.push(i);
        }
    }

    // 큐가 빌때까지 반복
    while (!q.empty()) {
        // 큐에서 원소 꺼내기
        int now = q.front();
        q.pop();
        result.push_back(now);

        // 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for (int e : graph[now]) {
            indegree[e]--;    
            // 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드 큐에 삽입
            if (indegree[e] == 0) {
                q.push(e);    
            }
        }
    }

    // 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for (int x: result) {
        cout << x << " ";
    }
    cout << endl;

}

int main(void) {
    cin >> v >> e;
    // 방향그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        graph[a].push_back(b); // 정점 a에서 b로 이동 가능
        // 진입 차수를 1 증가
        indegree[b] += 1;
    }

    topologySort();

    return 0 ;
}

📌 신장트리(Spanning Tree) : 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

크루스칼 알고리즘 : 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘, Union-FInd를 이용

1) 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2) 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

    2-1) 사이클 발생하지 않는 경우 : 최소 신장트리에 포함시킨다.

    2-2) 사이클이 발생하는 경우 : 최소 신장트리에 포함시키지 않는다.

3) 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <tuple>

using namespace std;

// 노드의 개수(v)와 간선(e)의 개수
// 노드의 개수는 최대 100000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001];

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
     if (parent[x] != x) {
         parent[x] = findParent(parent[x]);
     }
     return parent[x];
 }

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int x, int y) {
    x = findParent(x);
    y = findParent(y);

    if (x < y) {
        parent[y] = x;
    }
    else {
        parent[x] = y;
    }
}

int main(void) {
    vector<tuple<int, int, int> > edge;

    cin >> v >> e;

    // 부모테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    // union 연산을 각각 수행
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b, d;
        cin >> a >> b >> d;
        edge.push_back(make_tuple(d, a, b));
    }

    // 간선 거리별 오름차순 정렬
    sort(edge.begin(), edge.end()); // greater<int>()

    int sum = 0;
    for (auto t : edge) {
        int a, b, d;
        tie(d, a, b) = t;
        if (findParent(a) != findParent(b)) {
            unionParent(a, b);
            sum += d;
        }
    }
    
    cout << sum << endl;

    return 0 ;
}

🛑 유의사항 : template에서 사용한 tuple은 c++11버전에서만 사용할 수 있다.

서로소 집합(Disjoint Set) : 공통 원소가 없는 두 집합

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들을 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.

union과 find 2개의 연사으로 조작할 수 있다.

트리 자료구조로 표현한다.

✔️union-find 방식

1. union(합집합)

   1) A와 B의 부모노드 A', B'을 각각 찾는다.

   2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (if. A' < B') 

2. find(부모노드 찾기)

    루트 노드 탐색

<1번째 소스 : 수정 전>

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 노드의 개수(v)와 간선(e)의 개수
// 노드의 개수는 최대 100000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001];

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
    if (parent[x] != x) {
        return findParent(parent[x]);
    }
    return x;
}

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int x, int y) {
    x = findParent(x);
    y = findParent(y);

    if (x < y) {
        parent[y] = x;
    }
    else {
        parent[x] = y;
    }
}

int main(void) {

    cin >> v >> e;

    // 부모테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    // union 연산을 각각 수행
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        unionParent(a, b);
    }

    // 각 원소가 속한 집할 출력
    cout << "각 원소가 속한 집합: ";
    for (int i = 1 ; i <= v; i++) {
        cout << findParent(i) << " ";
    }
    cout << endl;

    // 부모 테이블 내용 출력
    cout << "부모 테이블: ";
    for (int i = 1 ; i <= v; i++) {
        cout << parent[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0 ;
}

위의 소스는 노드의 개수(V)이고 union연산의 개수(M)일때, 시간복잡도가 O(VM)이다.

따라서 findParent 함수 부분을 다음과 같이 변경해준다.

int findParent(int x) {
    if (parent[x] != x) {
        parent[x] = findParent(parent[x]);
    }
    return parent[x];
}

수정 후에는 시간복잡도가    

이다.

해당 부분의 시간복잡도 증명은 다음에 다루겠다

즉, 최종 소스는 다음과 같다.

<2번째 소스 : 수정 후>

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 노드의 개수(v)와 간선(e)의 개수
// 노드의 개수는 최대 100000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001];

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
     if (parent[x] != x) {
         parent[x] = findParent(parent[x]);
     }
     return parent[x];
 }

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int x, int y) {
    x = findParent(x);
    y = findParent(y);

    if (x < y) {
        parent[y] = x;
    }
    else {
        parent[x] = y;
    }
}

int main(void) {

    cin >> v >> e;

    // 부모테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    // union 연산을 각각 수행
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        unionParent(a, b);
    }

    // 각 원소가 속한 집할 출력
    cout << "각 원소가 속한 집합: ";
    for (int i = 1 ; i <= v; i++) {
        cout << findParent(i) << " ";
    }
    cout << endl;

    // 부모 테이블 내용 출력
    cout << "부모 테이블: ";
    for (int i = 1 ; i <= v; i++) {
        cout << parent[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0 ;
}

문제풀이 전략

 -  다익스트라    : 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우

     1) 시간복잡도 O(E*logV), 다익스트라를 플로이드처럼 모든 지점에서 모든지점까지의 경로를 구할 경우 더 좋은 시간 성능으로 사용할     수 있을 것이라 예상 O(E*logV*V)

     2) 그래프 표현방법 : 인접리스트

     3) 문제 접근 방식 : 그리드 알고리즘

 - 플로이드 워셜 : 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 개야 하는 경우

     1) 시간복잡도 O(N^3)

     2) 그래프 표현방법 : 인접행렬

     3) 문제 접근 방식 : 다이나믹 프로그래밍

플로이드 워셜 알고리즘은 코드가 간결하다.

따라서 N이 작고 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로를 모두 구해야 하는경우 사용하자.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

#define INF 1e9

using namespace std;

// 노드의 개수(n), 간선의 개수(m)
int n, m;
int graph[501][501];

int main(void)
{
    cin >> n >> m;

    // 최단거리 테이블 전부 무한대로 초기화
    //fill(graph, graph + 500*500, INF);
    for (int i = 1; i <= 500; i++) {
        fill(graph[i], graph[i]+500, INF);
    }

    // 자기자신으로 가는 거리 0
    for (int i = 1; i <= 500; i++) {
        graph[i][i] = 0;
    }

    // 간선 입력 받아서 세팅
    int s, e, d;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> s >> e >> d;
        graph[s][e] = d;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                graph[j][k] = min(graph[j][k], graph[j][i] + graph[i][k]);
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (graph[i][j] == INF) {
                cout << "INF ";
            }
            else {
                cout << graph[i][j] << " ";
            }
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

1.

Dijkstra 알고리즘을 이론 그대로 구현한 코드다.

시간복잡도는 O(V^2)이다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

#define INF 1e9	// 무한을 의마하는 값으로 10억 설정

using namespace std;

int N, M, start;
vector<pair<int, int> > graph[10001];
int sd[10001];
bool visited[10001] = {false};

int getSmallestNode() {
	int min_value = INF;
	int min_index = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		if (!visited[i] && sd[i] < min_value) {
			min_index = i;
			min_value = sd[i];
		}
	}
	return min_index;
}

void dijkstra(int start) {
	// 시작 노드에 대해서 초기화
	sd[start] = 0;
	visited[start] = true;

	for (int i = 0; i < graph[start].size(); i++) {
		sd[graph[start][i].first] = sd[start] + graph[start][i].second;
	}

	for (int i = 0; i < N-1; i++) {
		//현재 노드와 연결된 다른 노드를 꺼내서, 방문 처리
		int now= getSmallestNode();	
		visited[now] = true;

		// 현재 노드의 연겱된 다른 노드를 확인
		for (int j = 0; j < graph[now].size(); j++) {
			int cost = sd[now] + graph[now][j].second;
			
			sd[graph[now][j].first] = min(sd[graph[now][j].first], cost);
		}
	}
	
}

int main(void)
{
	cin >> N >> M;
	cin >> start;

	for (int i = 0; i < M; i++) {
		int s, e, d;
		cin >> s >> e >> d;
		
		graph[s].push_back(make_pair(e, d));
	}	

	// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
	fill_n(sd, 10001, INF);
	
	// 다익스트라 알고리즘 수행
	dijkstra(start);

	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
		if (sd[i] == INF)
			cout << "INFINITY" << endl;
		else
			cout << sd[i] << endl;
	}

	return 0;
}

2.

Dijkstra 알고리즘을 우선순위 큐를 이용해 시간복잡도를 줄인 코드다.

우선순위 큐에 pair를 넣으면 pair의 first 값으로 내림차순 정렬을 하므로 pair의 first 값으로 노드간 거리 * -1 (-cost)을 넣어서 정렬한다. 그리고 pair의 second 값으로 도착 노드를 넣는다.

우선순위 큐에서 최단거리 노드를 뽑아 최단거리를 탐색한다.

시간복잡도는 O(Elog(V))이다.

1번보다 2번의 시간복잡도가 좋으므로 2번 코드만 보면 될 것 같다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <utility>

#define INF 1e9

using namespace std;

int n, m, start;
vector<pair<int, int> > graph[10001];
int sd[100001];

void dijkstra(int start) {
    priority_queue<pair<int, int> > pq;

    // 시작 노드 거리 0 으로 우선순위 큐에 삽입
    pq.push(make_pair(0, start));
    sd[start] = 0;
    while(!pq.empty()) {
        // 가장 최단거리가 짧은 노드 뽑기
        int dist = -pq.top().first;
        int now = pq.top().second;
        pq.pop();

        // 처리된 적이 있는 노드 무시
        if (sd[now] < dist) continue;
        
        // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for (int i = 0; i < graph[now].size(); i++) {
            int cost = dist + graph[now][i].second; // sd[now] == dist
            // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 가는 거리가 더 짧은 경우
            if (cost < sd[graph[now][i].first]) {
                sd[graph[now][i].first] = cost;
                pq.push(make_pair(-cost, graph[now][i].first));
            }
        }
    }
}

int main(void) 
{
    cin >> n >> m >> start;

    int s, e, d;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> s >> e >> d;
        graph[s].push_back(make_pair(e, d));
    }
       // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
    fill(sd, sd + 100001, INF);
    
    // 다익스트라 알고리즘을 수행
    dijkstra(start);

    // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if (sd[i] == INF) {
            cout << "INFINITY" << '\n';
        }
        // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else {
            cout << sd[i] << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

분할정복 template

Type divide_and_conquer( S ) {
    // (1). Divide the problem into a set of subproblems.
    [S1, S2, ... Sn] = divide(S)

    // (2). Solve the subproblem recursively,
    //   obtain the results of subproblems as [R1, R2... Rn].
    rets = [divide_and_conquer(Si) for Si in [S1, S2, ... Sn]]
    [R1, R2,... Rn] = rets

    // (3). combine the results from the subproblems.
    //   and return the combined result.
    return combine([R1, R2,... Rn])

}

Backtracking 전용 template

Type backtrack(candidate) {

    if find_solution(candidate):
        output(candidate)
        return
    
    // iterate all possible candidates.
    for next_candidate in list_of_candidates:
        if is_valid(next_candidate):
            // try this partial candidate solution
            place(next_candidate)
            // given the candidate, explore further.
            backtrack(next_candidate)
            // backtrack
            remove(next_candidate)

}